Trägheitsmoment eines nichtlinearen vieratomigen Moleküls

Molekülspektroskopie

Trägheitsmoment eines trigonal planaren Moleküls

Wir betrachten das folgende – imaginäre – Molekül:

Trägheitsmoment eines nichtlinearen vieratomigen Moleküls
Abb. 1: Ein vieratomiges trigonal planares Molekül.

Als reales Beispiel für diesen Molekültyp (bzw. dessen Symmetrie) kann Bortrifluorid (\mathrm{BF}_{3}) herangezogen werden; dieses Molekül ist trigonal planar. Seine \mathbf{D}_{3 h}-Symmetrie stimmt mit der Vorhersage der VSEPR-Theorie überein. Aufgrund seiner hohen Symmetrie besitzt das Molekül kein Dipolmoment.

Symmetrie

Das Betrachtete Molekül gehört zur Punktgruppe \mathbf{D}_{3 h} und enthält:

  • Eine \mathbf{C}_{3} -Drehachse.
  • Drei \mathbf{C}_{2}-Achsen, die senkrecht zur \mathbf{C}_{3}-Achse stehen.
  • Drei \mathbf{\sigma}-Spiegelebenen, welche die \mathbf{C}_{3}-Hauptdrehachse enthalten und daher als vertikale Spiegelebenen (\mathbf{\sigma}_{\mathbf{v}}) bezeichnet werden. Sie halbieren jeweils einen Bindungswinkel.
  • Eine senkrecht zur Hauptachse, also horizontal liegende Spiegelebene (\mathbf{\sigma}_{\mathbf{h}}).
  • Eine S_{3}-Achse.
Angedeutete Symmetrieelemente eines Moleküls der Punktgruppe D_3h.
Abb. 2: Angedeutete Symmetrieelemente eines Moleküls der Punktgruppe \mathbf{D}_{3 h}.

Eine schöne Visualisierung der Symmetrieoperationen kannst Du hier finden.

Der Massenschwerpunkt jedes Moleküls mit Symmetrieachsen bzw -ebenen liegt auf einer dieser Achsen bzw. Ebenen. Wir erkennen schon, dass der Massenschwerpunkt im Zentralatom des Moleküls liegen muss. Das könnte man natürlich noch rechnerisch mit dem Satz von Steiner beweisen, darauf verzichten wir aber an dieser Stelle und heben uns das für ein anderes Molekül auf. Die Zuordnung der Raumachsen erfolgt so:

z-Achse: Entspricht der \mathbf{C}_{3}-Drehachse. y– und x-Achse spannen eine Ebene senkrecht zur \mathbf{C}_{3}-Achse auf, die Zuordnung kann hier beliebig erfolgen. Der Ursprung liegt im Zentralatom.

Berechnung der Trägheitsmomente

Da der Massenschwerpunkt des Moleküls in seinem Zentrum liegt ergeben sich die Trägheitsmomente I_{x x} und I_{y y} wie folgt:

\begin{aligned}
I_{x x}&=\sum m_{j} y_{j}^{2}=m(1)^{2}+2 m\left(\sin ^{2} 30^{\circ}\right)=\frac{3}{2} m \\ \\
I_{y y}&=\sum m_{j} x_{j}^{2}=m(0)^{2}+2 m\left(\cos ^{2} 30^{\circ}\right)=\frac{3}{2} m
\end{aligned}

Die x– bzw. y-Koordinaten erhalten wir durch Anwendung des cos– bzw. sinus-Satzes und der einfachen Überlegung, dass die betrachteten Winkel 30^{\circ} aufweisen müssen, da der Bindungswinkel 120^{\circ} beträgt und so bis zur x– bzw y-Achse in Summe noch 60^{\circ} für beide Winkel verbleiben. Für ein planares Molekül ergibt sich das Trägheitsmoment I_{z z} aus der Summe der beiden anderen Trägheitsmomente:

I_{z z}=\sum m_{j} x_{j}^{2}+\sum m_{j} y_{j}^{2}=3 m

Herleitung der Komponenten des Trägheitstensors

Die Trägheitsmomente I_{ii} sind natürlich Komponenten des Trägheitstensors:

\begin{aligned}
\tilde{\mathbf{I}}&=\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{I}_{x x}} & {\tilde{I}_{x y}} & {\tilde{I}_{x z}} \\ {\tilde{J}_{y x}} & {\tilde{I}_{y y}} & {\tilde{I}_{y z}} \\ {\tilde{I}_{x z}} & {\tilde{I}_{y z}} & {\tilde{I}_{z z}}\end{array}\right) \\ \\
\tilde{\mathbf{I}} &=\left(\begin{array}{ccc}{\sum m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)} & {-\sum m_{i} x_{i} y_{i}} & {-\sum m_{i} x_{i} z_{i}} \\ {-\sum m_{i} y_{i} x_{i}} & {\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)} & {-\sum m_{i} y_{i} z_{i}} \\ {-\sum m_{i} z_{i} x_{i}} & {-\sum m_{i} z_{i} y_{i}} & {\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)}\end{array}\right)
\end{aligned}

Die nichtdiagonalen Elemente können wir aber vernachlässigen, da das Molekül symmetrisch ist:

\begin{aligned}
\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}{I_{x x}} & {0} & {0} \\ {0} & {I_{y y}} & {0} \\ {0} & {0} & {I_{z z}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{I_{x}} & {0} & {0} \\ {0} & {I_{y}} & {0} \\ {0} & {0} & {I_{z}}\end{array}\right)
\end{aligned}

Und da die z-Achse senkrecht auf unserer Molekülebene steht, sind die z-Koordinaten gleich null und fallen weg:

\begin{aligned}
\tilde{I}_{x x} &=\sum m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) =  \sum m_{i}\left(y_{i}^{2}\right) \\ \\
\tilde{I}_{y y}&=\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) =  \sum m_{i}\left(x_{i}^{2}\right) \\ \\
\tilde{I}_{z z}&= {\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)} = \sum m_{i}\left(x_{i}^{2}\right) + \sum m_{i}\left(y_{i}^{2}\right) \\ \\
 &= \tilde{I}_{x x} + \tilde{I}_{y y}
\end{aligned}

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Verweise

Weblinks