Wenn es gilt das Besetzungsverhältnis der Wasserstoffmoleküle im ersten angeregten Schwingungszustand im Vergleich zum Schwingungsgrundniveau des elektronischen Grundzustands bei 293\, \mathrm{K} zu berechnen benötigt man zunächst die Schwingungsfrequenz ( v = 4161 \mathrm{cm}^{-1} ) und einen von der Boltzmann-Gleichung abgeleiteten Ausdruck, der das Verhältnis der Besetzung N_{1} des Schwingungsniveaus v = 1 zur Besetzung N_{0} des Schwingungsniveaus v = 0 darstellt:
\frac{N_{1}}{N_{0}}=\exp \left(-\frac{h \times c \times \omega_{0}}{k \times T}\right)Mit der Schwingungswellenzahl, der Temperatur und den Konstanten erhält man:
\begin{aligned} \frac{N_{1}}{N_{0}} &=\exp \left(-\frac{6.6261 \times 10^{-34} \, \mathrm{J} \mathrm{s} \times 2.9979 \times 10^{10} \, \mathrm{cm} \times \mathrm{s}^{-1} \times 4161 \, \mathrm{cm}^{-1}}{1.3807 \times 10^{-23} \, \mathrm{J} \mathrm{K}^{-1} \times 293 \, \mathrm{K}}\right) \\ \\ &=\exp (-20.432) \\ \\ &=1.338 \times 10^{-9} \end{aligned}Bonus: Bei welcher Temperatur würde das Besetzungsverhältnis 0.50 betragen?
Zur Beantwortung dieser Frage wird einfach entsprechend umgeformt:
\begin{aligned}
\frac{N{1}}{N_{0}} = 0.5000&=\exp \left(-\frac{h \times c \times \omega_{0}}{k_{B} \times T}\right) \\
\ln (0.5000)&=-0.6931=-\frac{h \times c \times \omega_{0}}{k_{B} \times T} \\ \\ \\
\therefore \quad T&= \frac{h \times c \times \omega_{0}}{0.6931 \times k_{B}} \\ \\
&= 2.0758 \, \mathrm{cm} \times \mathrm{K} \times 4161 \, \mathrm{cm}^{-1} \\ \\
&= 8637 \, \mathrm{K}
\end{aligned}